1.1 Objeto de estudio de la geometría La
palabra geometría (del griego geo, "tierra"; metrein, "medir") alude a "medir
la tierra". Una antigua opinión, transmitida por Herodoto, atribuía el origen
de la geometría a la necesidad de medir las tierras de labranza después de cada
crecida del río Nilo, que podía modificar su extensión; con el objeto de fijar
equitativamente el impuesto a pagar al rey.
Del mismo modo, la necesidad de comparar
las áreas y volúmenes de figuras simples, la construcción de canales y edificios,
las figuras decorativas, los movimientos de los astros, contribuyeron también
al nacimiento de esas reglas y propiedades geométricas que se encuentran en los
documentos de las antiguas civilizaciones egipcia y mesopotámica.
En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como
el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen
de cuerpos sólidos. En la actualidad ya no cabe hablar de geometría en el antiguo
sentido de una rama autónoma de la matemática, sino más bien de un "lenguaje geométrico",
aplicado a un grupo de propiedades integrantes de una matemática unificada y unificadora.
Según la naturaleza de esas propiedades se tienen distintas geometrías, que con
sus caracteres generales son: Geometría analítica:
Es más un método que una geometría, pues consiste en el estudio de las figuras
con recursos algebraicos, mediante la introducción de coordenadas que en general
establecen una correspondencia entre los entes geométricos: puntos, curvas, superficies
y los números y ecuaciones. Geometría diferencial:
En cierto sentido es una aplicación de la anterior, ya que consiste en estudiar
las propiedades de las curvas y de las superficies con los recursos del análisis
infinitesimal. Geometría euclidiana: Se basa
en los postulados de los Elementos de Euclides y en ella es válida la propiedad
de que por un punto puede trazarse una sola paralela a una recta. Geometría
no euclidiana: En ésta no vale el postulado de la paralela única, por tanto
admite que por un punto pueden trazarse dos paralelas a una recta (Geometría hiperbólica)
o ninguna paralela (Geometría elíptica); así tenemos también la Geometría de dimensiones,
descriptiva, métrica, afine y proyectiva, la topología, etcétera.
1.2 Historia de la geometría El
origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros
geómetras que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos
o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de
geometría empírica que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue
refinado y sistematizado por los griegos.
Conocimientos geométricos de los babilonios: Hacia el año 2200 a.C. aplicaron
reglas para calcular áreas de rectángulos, triángulos isósceles, trapezoides y
círculos. En la medición de los sólidos, daban soluciones relacionadas con paralelepípedos,
cilindros y prismas rectos, que aplicaban a trabajos de excavación de canales
para riego. Conocieron también que el ángulo inscrito en un semicírculo es recto,
que los lados homólogos de triángulos semejantes son proporcionales, de la relación
entre los lados de un triángulo rectángulo y la relación entre la longitud de
una circunferencia y su diámetro, tomando en valor de 3 para p .
En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría
cinetífica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría
empírica se pueden deducir como onclusiones lógicas de un número limitado de axiomas
o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos
como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se
consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.
Aunque existen intentos anteriores, la primera sistematización de ese conjunto
de conocimientos cristaliza en los elementos de Euclides (300 a.C.), que si bien
no comprendían todos los conocimientos matemáticos de la época, su estructura
es tan sólida y orgánica que aun hoy constituye la base de los textos de geometría
elemental. Apolonio de Perga estudió
la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrió muchas de sus propiedades
fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas;
por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del sol son fundamentalmente
cónicas. Arquímedes, uno de los grandes
científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría.
Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie
y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y
cilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor
pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció
que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.
Así, con Euclides, Arquímedes y Apolonio, la geometría griega llega a su culminación.
La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la Edad Media.
El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático René
Descartes, cuyo tratado El Discurso del Método, publicado en 1637, hizo época.
Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar
cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de
la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones
algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.
Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades
de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de
un plano a otro. La geometría sufrió un
cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss,
Nikolái Lobachevski y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas
coherentes de geometría no euclidiana. Estos sistemas aparecieron a partir de
los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas
que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque sí coherentes.
Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría
para espacios con más de tres dimensiones. 1.3
Los elementos de la geometría La geometría, en
cualquiera de sus manifestaciones, presenta en su ámbito más primario una serie
de elementos comunes a cualquier estudio de la disciplina. Se distinguen así componentes
tales como el plano, el punto, la línea -recta, curva, etc.-, la superficie, el
segmento y otros de cuya combinación nacen todas las figuras geométricas. El
punto Un punto señala una posición en el espacio.
Conceptualmente carece de longitud, anchura y profundidad. La
línea La prolongación de un punto se convierte
en una línea. Desde el punto de vista conceptual, la línea tiene longitud, pero
carece de anchura y profundidad. Línea recta Una
línea recta es la trayectoria mínima entre dos puntos situados en el espacio.
La recta puede presentarse de tres formas en un plano: de punta, como una recta
en verdadera magnitud, como una recta acortada. Plano Superficie
determinada por tres puntos o lo que ellos representan. Un ángulo plano es la
inclinación, una con otra, de dos líneas en un plano que se encuentran entre sí
y no están en línea recta. Las geometrías
descriptiva y proyectiva clásicas conforman el ámbito en el cual se desarrollan
los estudios de representación de figuras y de conservación de sus características
en las operaciones de proyección. En tal contexto se distinguen una serie de figuras
geométricas fundamentales: Polígonos: Un polígino
es una línea cerrada, es decir, divide el plano en dos regiones, interior y exterior
al polígono respectivamente. La diferencia entre ambas reside en que cualquier
semirrecta cuyo origen se sitúe en un punto interior corta a los lados, lo que
no sucede para los puntos exteriores. Según su número de lados (o ángulos), los
polígonos se clasifican en triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos,
octágonos, etc. a) Triángulos. Son polígonos
de tres lados, que se clasifican en equiláteros (tres lados de la misma longitud),
isósceles (dos lados iguales y uno desigual) y escalenos (tres lados desiguales). b)
Cuadriláteros. Se le llama así a cualquier polígono de cuatro lados. Los
cuadriláteros se clasifican en paralelogramos, trapecios o trapezoides, según
tengan dos pares de lados parelelos, uno o ninguno. A su vez, los paralelogramos
pueden ser cuadrados, rectángulos, rombos o romboides, en función de que sus ángulos
sean rectos (cuadrados o rectángulos) o no (rombos o romboides. Un polígono es
regular cuando todos sus ángulos y sus lados poseen la misma magnitud. c)
Circunferencia. Toda curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan de un
punto interior llamado centro. La porción del plano interior a una circunferencia
recibe el nombre de círculo, los segmentos que unen el centro con los puntos de
la circunferencia se llaman radios y los que unen dos puntos de la circunferencia,
cuerdas. d) Poliedros. Se llama superficie
poliédrica a la formada por un número finito de polígonos o caras que verifican
dos condiciones: cada lado de una cara pertenece a otra, y sólo a una, contigua,
y dos caras contiguas no comparten el mismo plano. e)
Esfera, cilindro y cono. Una esfera es la superficie engendrada por una
circunferencia al girar en torno a su diámetro. El cilindro es un cuerpo engendrado
por un rectángulo que ha girado en torno a uno de sus lados. Si un triángulo rectángulo
gira en torno a uno de sus catetos, engendra un cono, que se encuentra limitado
solamente por dos superficies, la base circular y la superficie lateral. 1.4
Instrumentos y materiales Instrumentos Caja
de compaces. Incluye un compás con complementos de lápiz y tiralíneas, un
compás divisor, un compás de círculos, una tachuela de centrado. Aguja
cortadora. Se emplea en lugar de la mina de lápiz, para recortar círculos
de papel o lámina. Compás cortador. Con tornillo
moleteado, que no se desajusta fácilmente, incluso con cortados repetidos. Tiralíneas
con bisagra cruzada. Para el trazado de líneas con la regla con cualquier
color diluido, la bisagra cruzada facilita el limpiado. Para el trazado de líneas
con la plantilla de curvas y para cualquier color diluido es apropiado el tiralíneas
curvo. Tablero de dibujo. De plástico con guía
por ranura Rundum para la regla T, óptimo para dibujo técnico, montaje de letras,
etc. Tablero con bastidor de inclinación. Recomendable
para trabajos con color, puesto que la posición oblicua provoca el efecto de un
caballete y resulta más fácil hacerse con una visión de conjunto del trabajo que
en una mesa horizontal. Regla T. Según se prefiera,
disponible en plástico, plexiglás, aluminio o acero, con o sin división milimétrica. Escuadras
y transportadores. Pueden emplearse de todos los tamaños para el trabajo con
la regla T. Reglas. Deben ser de plexiglás
o un material similar, tener división milimétrica y una longitud entre los 30
y los 50 cm. Regla de corte. Para cortar papeles
y cartones. Las hay de acero o aluminio con suplemento de acero a lo largo del
cual se produce el corte. En la parte inferior se recomienda un apoyo de goma,
con el objeto de que la regla no se desplace al cortar. Plantillas
de curvas. Las hay con las más diversas curvas, hipérbolas, parábolas, elipses,
etc., y pueden utilizarse como auxiliares del dibujo. Plantillas
de circunferencias y elipses. Son auxiliares del dibujo, y también pueden
utilizarse en las operaciones de pulverizado, siempre que se cubran adecuadamente. Escobilla
de dibujo. Para retirar los restos de goma de borrar del bosquejo y de la
mesa. Difumino. Rollito de papel con punta
en ambos extremos para el esfuminado del lapicero, carbón, pastel.
Materiales Lápices. Los más comunes se
encuentran clasificados en el comercio mediante números o letras y son los siguientes:
6B, 5B: lápices muy blandos de ennegrecimiento intenso,
para el boceteado y el sombreado. 4B, 3B: lápices
blandos para el bocetado. 2B, B, HB, F: lápices semiblandos
para el bocetado y dibujado. H, 2H, 3H, 4H, 5H: lápices
duros y muy duros para el marcado, el dibujado y el calco. 6H,
7H, 8H: lápices extremadamente duros, apropiados únicamente en aplicaciones especiales
como cartografía, litografía, etcétera. Lápices sin
madera formados por una barrita de grafito de unos 8 mm de diámetro recubierto
de laca, y muy indicados para esbozos y dibujos. Lápices
marcadores de mina fina. Gomas de borrar. También
se han acreditado el borrador de plástico Staedtler Mars y el Rotring para láminas
y papel. Plumas de dibujo. Para dibujos en
tinta china negra o de color. Puntas desde finas a extrafinas. Tinta
negra. En tintero, tinta china negra para pluma y pincel. Tinta
china de dibujo negra. En tintero, botella o cartucho para pluma y pincel,
se puede diluir con agua destilada. FW-Pen-Opake.
En tintero, tinta china blanca, cubriente, en tintero con instilador, para pluma,
Isograph a partir de 0,5 mm, y pincel; práctica para trabajos de cubrimiento. Lápices
de colores de madera. Marcas: Stabilio, Castell-Color, Prismalo de Caran d´Ache;
todos acuarelables en agua. Minas de colores para
lápices portaminas. Marcas: Castell-TK-Color, en 17 colores acuarelables en
agua. Koh-i-noor-Color, en 24 colores, acuarelables en agua, pero sólo se ajustan
a un portaminas especial porque las minas son más gruesas. Tiza
grasa. Como la de pastel, de base grasa y amplio surtido de colores, no debe
fijarse. Marcas: Jaxon; Neocolor 1 de Caran d´Ache. Lápices
de fieltro. Los hay con tinta china soluble en agua, tinta china de alcohol
(no soluble en agua) y tinta china luminosa. Los lápices de fieltro son sólo parcialmente
resistentes a la luz. Papeles de trazado y de rotulador.
En paquetes de DIN A4, A3, A2; papel semitransparente para trabajos de boceto
y de lápiz de fieltro, que no embebe la tinta. Papel
transparente. Para el bocetado, el más adecuado es un rollo de 33 cm (24 g/m2
y 45 g/m2). Papeles de dibujo. En hojas y rollos,
de 150 a 300 g/m2, con las superficies suaves y ásperas. Cartones
de dibujo. En planchas de 0,4-3,2 mm de espesor. Las superficies se consideran
superlisas, lisas, ásperas y extraásperas; las dos últimas, muy indicadas para
acuarelar. Cartón de montaje. Para pautas (layouts)
y montajes de letras, espesor 1,5 mm. Lámina reticular.
En hojas, autoadhesiva, en parte también transferible, muchas estructuras como
retículas lineales, de puntos, tramas degradadas, etc. Papel
de grafito. Se utiliza en el calcado, las líneas calcadas pueden borrarse. Papel
de greda. Se emplea para el calcado sobre fondos oscuros, las líneas también
pueden borrarse. Obras consultadas -
Calderón Barquín, Francisco José (1987). Curso de dibujo técnico industrial.
31 ed., México: Porrúa. - Fernández Calvo, Silvestre
(1992). La geometría descriptiva aplicada al dibujo técnico arquitectónico.
México: Trillas. - Guzmán Herrera, Abelardo (1996).
Geometría y trigonometría. México: Publicaciones cultural. -
Magnus, Günter Hugo (1999). Manual para dibujantes e ilustradores. 2 ed.,
Barcelona: Gustavo Gili. - Pedoe, Dan (1979). La
geometría en el arte. Barcelona: Gustavo Gili. -
Sánchez Sordo, Manuel (1988). Cómo dominar la geometría. Madrid: Playor.
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